De la loi de Descartes au principe de Fermat

Nous avions laissé Feynman en 1961-1962, dans un amphitéâtre de l'Institut de Technologie de Californie (Caltech), après l'exposé la (re)découverte par Snell de la loi de la réfraction. Il avait alors poursuivit son cours en évoquant le Principe de Fermat du moindre temps (→ cf. Web) et profité de l'occasion pour souligner le rôle des principes en physique :

« Dans le développement progressif de la science, nous souhaitons obtenir davantage qu'une simple formule. Nous partons d'abord d'une observation, nous obtenons des nombres que nous mesurons, puis nous obtenons une loi qui résume tous les nombres. Mais le vrai triomphe de la science c'est de pouvoir trouver une manière de penser telle que cette loi soit évidente.
la première manière de penser qui rendit évidente la loi sur le comportement de la lumière fut découverte par Fermat aux environs de 1650, et elle est appelée le principe du moindre temps ou le principe de Fermat. Son idée fut la suivante : parmi toutes les trajectoires possibles que la lumière peut emprunter pour aller d'un point à un autre, la lumière choisit la trajectoire qui nécessite le temps le plus court.
(...) Lorsqu'un nouveau principe théorique est developpé, tel que le principe de moindre temps, nous serions d'abord tentés de dire : « Bien, c'est très joli ; c'est tout à fait remarquable ; mais la question se pose : cela nous aide-t-il à comprendre la physique ? » Quelqu'un peut dire : Très bien, mais je peux comprendre (...) les miroirs [ou] une lentille [avec seulement] la loi de Snell [comprise comme a) i₁= i₁' et b) sin i₂ / sin i₁= cste = n₁₂ = indice relatif du dioptre (1/2)] » Evidemment, l'énoncé du principe de moindre temps et l'énoncé que les angles sont égaux à la réflexion et que les sinus des angles sont proportionnels à la réfraction sont les mêmes. (...) Cependant l'importance d'un principe puissant réside dans le fait qu'il prédit de nouvelles choses.
(...) [En particulier] nous prédisons que l'indice relatif de deux milieux nouveaux peut être obtenu à partir de l'indice de chaque milieu individuel pris chacun par rapport à l'air ou par rapport au vide. Si donc nous mesurons (...) [pour chaque milieu] son indice relatif au vide appelé n_i (n_i est la vitesse dans l'air relative à la vitesse dans le vide, etc.), alors (...) l'indice relatif de deux milieux i et j est

n_ij = v_i/v_j = n_j/n_i.

En se limitant à la loi de Snell, il n'y a aucun moyen de prédire ce genre de chose. Et bien sûr cette prédiction est correcte. (...)
Un autre argument enf aveur du principe de moindre temps, une autre prédiction, est que si nous mesurons la vitesse de la lumière dans l'eau, elle sera plus faible que dans l'air. C'est une prédiction de type complètement différent. C'est bune prédiction brillante, parce que tout ce que nous avons mesuré jusqu'à présent se limite à des angles ; ici, nous avons une prédiction théorique qui est tout à fait différente des observations à partir desquelles Fermat déduisit l'idée du temps minimum [Historiquement, Feynman s'égare : en réalité, Fermat, qui supposait que la lumière ne pouvait se déplacer de plus en plus vite dans un milieu matériel de plus en plus dense, a voulu appliquer le principe de moindre temps à la réfraction parce qu'il refusait les conséquences cinématique de l'analogie mécanique appliquée à la réfraction par Descartes lorsqu'on supposait la lumière de vitesse finie. Mais cela n'enlève en rien le pouvoir prédictif du principe de Fermat puisqu'à l'époque de ce dernier il était impossible de savoir si la lumière avait une vitesse finie, et encore moins de la mesurer !]. Il apparaît en fait que la vitesse [de la lumière] dans l'eau est plus faible que la vitesse dans l'air, exactement dans le rapport nécessaire pour obtenir l'indice correct ! 

Richard Feynman, Le cours de physique de Feynman, Mécanique 2, chap. 26,
trad. par G. Delacotte, Paris, InterEditions, 1994 (1979),xvii, 391 p., p. 4, 10-11.

»

Entre ces deux considérations sur la distinction entre lois et principes, Feynman développe les conséquences du principe de Fermat mais également donne une analogie devenue fort célèbre. C'est l'objet du billet suivant qui nous permettra de réviser notre leçon d'introduction sur les dérivées et les petites variations.